Родился 22 ноября 1958 г. в Магнитогорске Челябинской области.
В 1990 г. с отличием окончил Магнитогорский горно-металлургический институт им. Г.И. Носова (в настоящее время Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова) по специальности «Обработка металлов давлением»; в 2001 г. – Академию народного хозяйства при Правительстве РФ по специальности «Управление предприятиями и организациями».
Трудовую деятельность начал в 1976 г. на Магнитогорском металлургическом комбинате учеником контролера первого разряда отдела технического контроля. После службы в армии вернулся на Магнитогорский металлургический комбинат, где работал слесарем по ремонту металлургического оборудования, бригадиром слесарей-ремонтников, старшим мастером и начальником прокатного отделения, заместителем начальника, начальником листопрокатного цеха, главным прокатчиком ОАО «ММК».
В 2000 г. назначен заместителем коммерческого директора – начальником управления оборудования, в 2002 г. – техническим директором – главным инженером ОАО «ММК».
В 2002 – 2003 гг. по совместительству являлся генеральным директором ОАО «Магнитогорский метизно-металлургический завод».
С 2003 по 2008 гг. работал директором по сбыту на внутреннем рынке, директором по сбыту, исполнительным директором ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат».
С 2009 по май 2011 гг. работал первым заместителем генерального директора ОАО «Научно-производственная корпорация «Уралвагонзавод».
С мая 2011 г. – генеральный директор, председатель правления ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат».
15 января 2014 г. Указом Президента РФ Борис Александрович Дубровский назначен временно исполняющим обязанности Губернатора Челябинской области.
14 сентября 2014 г. избран Губернатором Челябинской области.
24 сентября 2014 г. официально вступил в должность Губернатора Челябинской области.
Борис Александрович Дубровский награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2003 г.), Орденом Почета (2012 г.), знаком отличия «За заслуги перед Челябинской областью» (2013 г.)
Женат, воспитывает дочь и сына.
