Александр Климочкин имеет высшее экономическое образование - в 2011 году с отличием окончил Петрозаводский государственный университет по специальности «Финансы и кредит». Почти сразу после университета он приступил к работе в Министерстве финансов, где за 9 лет прошел путь от ведущего специалиста до заместителя министра.
В 2021 году Александр Климочкин стал одним из победителей трека «Государственное управление» конкурса «Лидеры России» в Северо-Западном федеральном округе, а в мае 2022 года - суперфиналистом. После победы в конкурсе замминистра прошел переподготовку в Высшей школе государственного управления Президентской академии. В январе 2024 года был назначен на должность первого заместителя министра.
с 20 сентября 2024 года назначен исполняющим обязанности министра финансов Республики Карелия.
